यदि f(x) = begin{cases} k cos x - x cos k, & | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ को $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।$x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य का अर्थ है $\lim_{x

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$k \in \phi$ (रिक्त समुच्चय)

Vedclass · Answer

(D) $f(x)$ को $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।$x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य का अर्थ है $\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$.$k \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \cos k = k \sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \sin k$.चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,हमें $-\frac{\pi}{2} \cos k = k + \frac{\pi}{2} \sin k$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $k = -\frac{\pi}{2}(\sin k + \cos k)$ हो जाता है।अवकलनीयता के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।$f'(x) = -k \sin x - \cos k$ ($x  \frac{\pi}{2}$ के लिए)।$x = \frac{\pi}{2}$ पर $LHD$ = $-k \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos k = -k - \cos k$.$x = \frac{\pi}{2}$ पर $RHD$ = $k \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin k = \sin k$.$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर: $-k - \cos k = \sin k$,या $k = -(\sin k + \cos k)$.दोनों शर्तों की तुलना करने पर: $-\frac{\pi}{2}(\sin k + \cos k) = -(\sin k + \cos k)$.इसका अर्थ है $(\sin k + \cos k)(\frac{\pi}{2} - 1) = 0$. चूँकि $\frac{\pi}{2} 
eq 1$,इसलिए $\sin k + \cos k = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $	an k = -1$,अतः $k = n\pi - \frac{\pi}{4}$.इस मान को $k = -(\sin k + \cos k)$ में रखने पर,यदि $k = -\frac{\pi}{4}$ है,तो $-(\sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4})) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0 
eq -\frac{\pi}{4}$.अतः,$k$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करे। इसलिए,$k \in \phi$।

यदि $f(x) = \begin{cases} k \cos x - x \cos k, & x \in [0, \frac{\pi}{2}] \\ k \sin x + x \sin k, & x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \end{cases}$ अंतराल $(0, \pi)$ में अवकलनीय है,तो:

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