જો $f(x) = \sin^2 x + x \sin 2x \log x$ હોય,તો $f(x) = 0$ ને

ધારો કે $f(x) = \log(1 + x^2)$ અને $A$ એવો અચળાંક છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x, y$ માટે જ્યાં $x \neq y$,$\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} \leq A$ થાય. તો,$A$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત છે

જો વિધેય $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ એ $[1,3]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે અને $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય,તો $b c=$

ધારો કે $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x)=f(1-x)$ અને $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ થાય. તો
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માં બે વાર વિકલનીય છે અને $f(1)=f(3)$ છે. જો $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ હોય,તો $[1, 3]$ માં તમામ $x$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને વક્ર $y = f(x)$ ને $x = \frac{7}{4}$ આગળનો સ્પર્શક,વક્રના $x = 1$ અને $x = 2$ આગળના બિંદુઓને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.