ધારો કે f(x) = log(1 + x^2) અને A એવો અચળાંક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x 
eq y$ માટે,$x$ અને $y$ ની વચ્ચે એક એવું $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\frac{f(x) - f(y)}{x -

Vedclass · Accepted Answer

$1$ ની બરાબર

Vedclass · Answer

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x 
eq y$ માટે,$x$ અને $y$ ની વચ્ચે એક એવું $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(c)$ થાય.આપેલ છે કે $f(x) = \log(1 + x^2)$,તેથી તેનું વિકલન $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ મળે.$f'(x)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે $g(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.$g'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = 0$ લેતા,આપણને $x = \pm 1$ મળે છે.$f'(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $f'(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = 1$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $f'(-1) = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^2} = -1$ છે.આમ,તમામ $c \in \mathbb{R}$ માટે $|f'(c)| \leq 1$ થાય છે.તેથી,$\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} = |f'(c)| \leq 1$ હોવાથી,$A$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $1$ છે.

Similar Questions

અંતરાલ $[0, 1]$ માં,લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) નીચેનામાંથી કયા વિધેય માટે લાગુ પડતું નથી?

જો $x \in [0, 4]$ માટે $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ હોય,તો લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરતું $c \in (0, 4)$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime \prime}(x) > 0$ હોય,અને $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ હોય,તો

વિધેય $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ અને અંતરાલો $I_1=[-1,0]$, $I_2=[0,1]$, $I_3=[1,2]$, $I_4=[-2,-1]$ ધ્યાનમાં લો. તો,

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module