यदि $f(x) = \begin{vmatrix} x^3-x & 2e^{2x} & \sin x^2 \\ \cos(2x) & x+x^2 & e^{-x} \\ \tan 3x & \ln(1-2x) & x^2+x+1 \end{vmatrix}$ है,तो $f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किस आव्यूह की कोटि (rank) $3$ है?

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 + 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \\ 2 \cos^4 x & 3 + 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \end{vmatrix}$ है,तो $\frac{1}{5} f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+qx+r=0$ (जहाँ $r \neq 0$) के मूल हैं और वे $A$.$P$. में हैं। तो आव्यूह $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \\ x-1 & 2-x & x+4 \\ x-3 & x-3 & 3x\end{array}\right|=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है, तो $(a_1+a_3)+2(a_0+a_2+a_4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
$1$. यदि $A$ एक $5 \times 5$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $A$ की कोटि (rank) $5$ से कम है।
$2$. यदि $P$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ की कोटि $1$ है।
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ की कोटि $2$ है।
$4$. यदि रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ भिन्न हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ की कोटि $3$ है।