यदि एक वृत्त $C$ जो $(4, 0)$ से होकर गुजरता है,वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ को बिंदु $(1, -1)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है,तो वृत्त $C$ की त्रिज्या क्या है?

मान लीजिए कि $A(2,3)$,$B(3,-1)$ और $C(-3,2)$ तीन बिंदु हैं। यदि $A$,$B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है,तो $2k - 4h$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ एक समबाहु त्रिभुज $PQR$ में अंतर्निहित है। $C$ के भुजाओं $PQ, QR, RP$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $D, E, F$ हैं। रेखा $PQ$ का समीकरण $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ है और बिंदु $D$ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है। इसके अलावा,यह दिया गया है कि मूल बिंदु और $C$ का केंद्र रेखा $PQ$ के एक ही तरफ हैं।
$1.$ वृत्त $C$ का समीकरण है
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ बिंदु $E$ और $F$ हैं
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ भुजाओं $QR, RP$ के समीकरण हैं
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

यदि बिंदु $(4, 2)$ की वृत्त $x^2 + y^2 - 2\alpha x + 6y + \alpha^2 - 16 = 0$ के सापेक्ष शक्ति (power) $9$ है,तो ऐसे वृत्तों द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए सभी संभावित अंतःखंडों की लंबाई का योग क्या है?

एक रेखा $l$ वृत्त $x^2+y^2=61$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $P(-5, 6)$ एक ऐसा बिंदु है कि $PA=PB=10$,तो रेखा $l$ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(-1, 1)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि ये स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $A$ और $B$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं,और यदि $D$ वृत्त पर एक ऐसा बिंदु है कि रेखाखंड $AB$ और $AD$ की लंबाई बराबर है,तो त्रिभुज $ABD$ का क्षेत्रफल क्या होगा?