यदि एक वृत्त (x-1)^2+y^2=r^2 दीर्घवृत्त x^2+4 | vedclass

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Question

(A) दिया गया वृत्त $(x-1)^2+y^2=r^2 \dots (i)$ है।यहाँ,वृत्त का केंद्र $(1,0)$ है और त्रिज्या $r$ है।दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=16$ है,जिसे $\frac{

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$\sqrt{\frac{11}{3}}$

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(A) दिया गया वृत्त $(x-1)^2+y^2=r^2 \dots (i)$ है।यहाँ,वृत्त का केंद्र $(1,0)$ है और त्रिज्या $r$ है।दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=4$ और $b=2$ प्राप्त होता है।चूंकि वृत्त दीर्घवृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,इसलिए स्पर्श बिंदु $P$ पर दीर्घवृत्त का अभिलंब वृत्त के केंद्र $(1,0)$ से होकर गुजरेगा।माना स्पर्श बिंदु $P(4\cos	heta, 2\sin	heta)$ है।दीर्घवृत्त के अभिलंब का समीकरण $ax\sec	heta - by\operatorname{cosec}	heta = a^2-b^2$ है।$a=4, b=2$ और $a^2-b^2 = 12$ रखने पर,$4x\sec	heta - 2y\operatorname{cosec}	heta = 12$ प्राप्त होता है।चूंकि यह अभिलंब $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4(1)\sec	heta - 2(0)\operatorname{cosec}	heta = 12$,जिसका अर्थ है $4\sec	heta = 12$,अतः $\sec	heta = 3$।इस प्रकार,$\cos	heta = \frac{1}{3}$ और $\sin	heta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।बिंदु $P$ का मान $\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}ight)$ है।त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,0)$ और बिंदु $P\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}ight)$ के बीच की दूरी है।$r^2 = \left(\frac{4}{3}-1ight)^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-0ight)^2 = \frac{1}{9} + \frac{32}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$।अतः,$r = \sqrt{\frac{11}{3}}$।

यदि एक वृत्त $(x-1)^2+y^2=r^2$ दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=16$ को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,तो $r=$

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