$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ ધન યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને $x^2+y^2-12x-10y+52=0$ વર્તુળને બહારથી સ્પર્શે છે,તો બે વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જો બિંદુ $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ $\theta \in (0, 2 \pi)$ માટે રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ વચ્ચેના પ્રદેશમાં આવેલું હોય જેમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે, તો $\theta$ કયા અંતરાલમાં હશે?

પ્રદેશ $R = \{( x , y ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x \geq 0 \text{ અને } y^2 \leq 4- x \}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $F$ એ બધા વર્તુળોનો સમૂહ છે જે $R$ માં સમાયેલ છે અને જેના કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $C$ એ $F$ માં સૌથી મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ છે જ્યાં વર્તુળ $C$ વક્ર $y^2=4- x$ ને મળે છે.
$(1)$ વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા. . . . . .
$(2)$ $\alpha$ નું મૂલ્ય. . . . .
$(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો:

ધારો કે $d_1$ અને $d_2$ એ રેખા $2x-2y-3=0$ પર વર્તુળો $x^2+y^2=4$ અને $x^2+y^2-10x-14y+65=0$ દ્વારા કપાતા અંતઃખંડોની લંબાઈ છે. તો,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

એક રેખા $l$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=61$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. જો $P(-5, 6)$ એવું બિંદુ હોય કે જેથી $PA=PB=10$ થાય,તો રેખા $l$ નું સમીકરણ શોધો.

જો બિંદુઓ $P(3, 1)$ અને $Q(6, 5)$ ત્રીજા બિંદુ $R(x, y)$ સાથે મળીને એક ત્રિકોણ બનાવે છે,જેનું ક્ષેત્રફળ $6$ ચોરસ એકમ છે અને $\angle PRQ = \frac{\pi}{2}$ છે,તો બિંદુ $R$ માટે શક્ય સ્થાનોની સંખ્યા કેટલી છે?