यदि एक वक्र बिंदु (1,1) से होकर गुजरता है और | vedclass

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Question

(D) माना वक्र का समीकरण $y=f(x)$ है।चूंकि वक्र बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(1)=1$ है।प्रश्न के अनुसार,वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,इस

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$(2,2)$

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(D) माना वक्र का समीकरण $y=f(x)$ है।चूंकि वक्र बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(1)=1$ है।प्रश्न के अनुसार,वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,इसकी स्पर्शरेखा की ढाल $(\frac{dy}{dx})$ और $x$-निर्देशांक का गुणनफल $y$-निर्देशांक के बराबर है।अतः,$x \cdot \frac{dy}{dx} = y$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $y = kx$ प्राप्त होता है,जहाँ $k = e^C$ है।शर्त $f(1)=1$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=1$ को $y=kx$ में रखने पर $1 = k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=1$ है।अतः वक्र का समीकरण $y=x$ है।दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(2,2)$ समीकरण $y=x$ को संतुष्ट करता है।

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माना $x = x(y)$ अवकल समीकरण $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$,$y > 0$ और $x(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है। तो $\cos(x(2))$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(3, 9)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण क्या है जो अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = x + \frac{1}{x^2}$ को संतुष्ट करता है?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin(x + y) + \cos(x + y)$ का हल है

$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$ का हल है

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