यदि एक रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ alph | vedclass

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Question

(C) माना घन की भुजा $a$ है। घन के चार विकर्णों को $(1, 1, 1)$,$(1, 1, -1)$,$(-1, 1, 1)$,और $(1, -1, 1)$ दिशाओं में सदिशों के रूप में दर्शाया जा सकता ह

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$\frac{8}{3}$

Vedclass · Answer

(C) माना घन की भुजा $a$ है। घन के चार विकर्णों को $(1, 1, 1)$,$(1, 1, -1)$,$(-1, 1, 1)$,और $(1, -1, 1)$ दिशाओं में सदिशों के रूप में दर्शाया जा सकता है।माना रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।रेखा और विकर्णों के बीच के कोणों $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ की कोज्याएँ इस प्रकार हैं:$\cos \alpha = \frac{|l + m + n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{|l + m - n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{|-l + m + n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \delta = \frac{|l - m + n|}{\sqrt{3}}$.इनका वर्ग करने पर:${\cos ^2}\alpha = \frac{(l + m + n)^2}{3}$,${\cos ^2}\beta = \frac{(l + m - n)^2}{3}$,${\cos ^2}\gamma = \frac{(-l + m + n)^2}{3}$,${\cos ^2}\delta = \frac{(l - m + n)^2}{3}$.इनका योग करने पर:$\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l^2+m^2+n^2 + 2lm + 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 + 2lm - 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm + 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm - 2mn + 2nl) ]$$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3} (1) = \frac{4}{3}$.चूँकि ${\sin ^2}	heta = 1 - {\cos ^2}	heta$,इसलिए:$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

यदि एक रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ कोण बनाती है,तो ${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma + {\sin ^2}\delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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