यदि परवलय y^2=4ax के शीर्ष O से उसके किसी स्प | vedclass

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Question

(A) माना परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा $yt = x + at^2$ है ... $(i)$। चूंकि रेखा $NM$ स्पर्श रेखा पर लंब है और मूल बिंदु $O(0,

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$4a^2$

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(A) माना परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा $yt = x + at^2$ है ... $(i)$। चूंकि रेखा $NM$ स्पर्श रेखा पर लंब है और मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = -tx$ है ... (ii)। $N$ ज्ञात करने के लिए,$(i)$ में $y = -tx$ रखने पर: $t(-tx) = x + at^2 \implies -t^2x - x = at^2 \implies x = -\frac{at^2}{1+t^2}$। तब $y = -t(-\frac{at^2}{1+t^2}) = \frac{at^3}{1+t^2}$। अतः,$N \equiv (-\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2})$। $M$ ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4ax$ में $y = -tx$ रखने पर: $(-tx)^2 = 4ax \implies t^2x^2 = 4ax$। चूंकि $x 
eq 0$,इसलिए $x = \frac{4a}{t^2}$। तब $y = -t(\frac{4a}{t^2}) = -\frac{4a}{t}$। अतः,$M \equiv (\frac{4a}{t^2}, -\frac{4a}{t})$। अब,$ON = \sqrt{(-\frac{at^2}{1+t^2})^2 + (\frac{at^3}{1+t^2})^2} = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$। और $OM = \sqrt{(\frac{4a}{t^2})^2 + (-\frac{4a}{t})^2} = \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2}$। अतः,$ON \cdot OM = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2} = 4a^2$।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ $\Delta PQR$ की परिवृत्त त्रिज्या	$(P)$ $5/2$
$(B)$ $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल	$(Q)$ $(5/2, 0)$
$(C)$ $\Delta PQR$ का केंद्रक	$(R)$ $(2/3, 0)$
$(D)$ $\Delta PQR$ का परिकेंद्र	$(S)$ $2$

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