જો બિંદુ $(x, y) = (\tan \theta + \sin \theta, \tan \theta - \sin \theta)$ હોય,તો $(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

શિરોબિંદુઓ $A(2,1)$,$B(0,0)$ અને $C(t,4)$ વાળા ત્રિકોણો ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $t \in [0,4]$. જો આવા ત્રિકોણોની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પરિમિતિ અનુક્રમે $t=\alpha$ અને $t=\beta$ પર મળે,તો $6\alpha + 21\beta$ ની કિંમત $.........$ થાય.

જો બિંદુઓ $(2,0)$, $(0,2)$ અને $(1,1)$ થી એક ચલ સુરેખાના અંતરનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય હોય, તો તે રેખા કયા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

ધારો કે $P(2, -3)$ અને $Q(-2, 1)$ એ $\Delta PQR$ ના શિરોબિંદુઓ છે. જો $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર આવેલું હોય, તો $R$ નો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $xy$-સમતલમાં $A$ બિંદુ $(0,4)$ છે અને $B$ બિંદુ $(2t, 0)$ છે. ધારો કે $L$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $y$-અક્ષને $M$ માં મળે છે. ધારો કે $N$ એ $LM$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $N$ નો બિંદુપથ શું છે?

$8$ એકમ લંબાઈનો સળિયો એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેના અંત્યબિંદુઓ $A$ અને $B$ હંમેશા રેખાઓ $x-y+2=0$ અને $y+2=0$ પર રહે છે. જો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ,જે સળિયા $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે,તે $9(x^2+\alpha y^2+\beta xy+\gamma x+28y)-76=0$ હોય,તો $\alpha-\beta-\gamma$ ની કિંમત શોધો.