यदि $4$ विवाहित जोड़ों में से मिक्स्ड डबल्स टेनिस खेल खेलने के लिए $4$ व्यक्तियों की एक टीम चुनी जानी है,तो ऐसी टीम बनाने के तरीकों की संख्या क्या है जिसमें कोई भी विवाहित जोड़ा शामिल न हो?

यदि समुच्चय $A = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\}$ के $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या, $a_{4}$ को समाहित करने वाले $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है, तो $n$ का मान क्या है?

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है

एक दुकान में $5$ प्रकार की आइसक्रीम उपलब्ध हैं। एक बच्चा $6$ आइसक्रीम खरीदता है।
$\text{कथन}-1$: बच्चे द्वारा $6$ आइसक्रीम खरीदने के विभिन्न तरीकों की संख्या $^{10}C_5$ है।
$\text{कथन}-2$: बच्चे द्वारा $6$ आइसक्रीम खरीदने के विभिन्न तरीकों की संख्या एक पंक्ति में $6$ $A$ और $4$ $B$ को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या के बराबर है।

मान लीजिए $N$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है। $x, y, z \in N, x < y < z$ और $x+y+z=12$ को संतुष्ट करने वाले भिन्न त्रिकों $(x, y, z)$ की संख्या है

यदि ${ }^{n} C_{12}={ }^{n} C_{8}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।