Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultयदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
(N/A) मान लीजिए कि $\Delta ABP$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
आपको सिद्ध करना है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
$BQ \parallel AP$ खींचिए जिससे एक अन्य समांतर चतुर्भुज $ABQP$ प्राप्त हो। अब,समांतर चतुर्भुज $ABQP$ और $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
परंतु $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (विकर्ण $PB$ समांतर चतुर्भुज $ABQP$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसलिए,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
अतः,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ से] $(3)$.
इससे प्राप्त होता है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ और $(3)$ से] है।
आपको सिद्ध करना है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
$BQ \parallel AP$ खींचिए जिससे एक अन्य समांतर चतुर्भुज $ABQP$ प्राप्त हो। अब,समांतर चतुर्भुज $ABQP$ और $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
परंतु $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (विकर्ण $PB$ समांतर चतुर्भुज $ABQP$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसलिए,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
अतः,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ से] $(3)$.
इससे प्राप्त होता है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ और $(3)$ से] है।
Explore More
Similar Questions
$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$
Medium
View Solutionयदि $E, F, G$ और $H$ क्रमशः समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं,तो दर्शाइए कि $\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
Difficult
View Solutionआकृति में,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $A$ पर है। $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$,$BC$ से $Y$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$.
Medium
View Solutionआकृति में,$BC$ पर $D$ और $E$ दो ऐसे बिंदु हैं कि $BD = DE = EC$ है। दर्शाइए कि $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$ है।
क्या अब आप इस अध्याय की 'प्रस्तावना' में छोड़े गए प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि क्या बुधिया का खेत वास्तव में समान क्षेत्रफल वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है?
क्या अब आप इस अध्याय की 'प्रस्तावना' में छोड़े गए प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि क्या बुधिया का खेत वास्तव में समान क्षेत्रफल वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है?
Medium
View Solutionआकृति में,$ABCD$ एक चतुर्भुज है और $BE \parallel AC$ है। $BE$,$DC$ को बढ़ाने पर $E$ पर मिलता है। दर्शाइए कि $\Delta ADE$ का क्षेत्रफल,चतुर्भुज $ABCD$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo