यदि सम्मिश्र संख्याएँ z_1 और z_2 दोनों z + ov | vedclass

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Question

(B) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $z + \overline{z} = 2|z - 1|$ का रूप $2x = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ हो जाता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = (x-1

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$\csc \frac{\pi}{3}$

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(B) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $z + \overline{z} = 2|z - 1|$ का रूप $2x = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ हो जाता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = (x-1)^2 + y^2$,जो सरल होकर $y^2 = 2x - 1$ प्राप्त होता है।माना $z_1 = x_1 + iy_1$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ है। $y^2 = 2x - 1$ के कारण,हम $z$ को $z = \frac{t^2 + 1}{2} + it$ के रूप में लिख सकते हैं।तब $z_1 - z_2 = \frac{t_1^2 - t_2^2}{2} + i(t_1 - t_2) = \frac{(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)}{2} + i(t_1 - t_2)$ है।दिया गया है कि $\arg(z_1 - z_2) = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $	an(\frac{\pi}{3}) = \frac{t_1 - t_2}{\frac{(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)}{2}} = \frac{2}{t_1 + t_2} = \sqrt{3}$ है।अतः,$t_1 + t_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।चूँकि $	ext{Im}(z_1 + z_2) = t_1 + t_2$,इसलिए मान $\frac{2}{\sqrt{3}} = \csc \frac{\pi}{3}$ है।

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