मान लीजिए S_1 = {z in mathbb{C} : |z| leq 5}, | vedclass

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Question

(D) $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=5$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग और सीमा को दर्शाता है: $x^2 + y^2 \leq 25$.$S_2$ को $\operatorname{Im}\left(\f

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$\frac{125\pi}{12}$

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(D) $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=5$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग और सीमा को दर्शाता है: $x^2 + y^2 \leq 25$.$S_2$ को $\operatorname{Im}\left(\frac{z}{1-\sqrt{3}i} + 1ight) \geq 0$ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूंकि $\operatorname{Im}(1) = 0$, यह $\operatorname{Im}\left(\frac{x+iy}{1-\sqrt{3}i}ight) \geq 0$ है।संयुग्मी से गुणा करने पर: $\operatorname{Im}\left(\frac{(x+iy)(1+\sqrt{3}i)}{4}ight) \geq 0 \implies \sqrt{3}x + y \geq 0$, जो रेखा $y = -\sqrt{3}x$ के ऊपर का क्षेत्र है।$S_3$ वह क्षेत्र है जहाँ $x \geq 0$ (दायां अर्ध-तल) है।प्रतिच्छेदन $S_1 \cap S_2 \cap S_3$ वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। रेखा $y = -\sqrt{3}x$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $-60^\circ$ (या $300^\circ$) का कोण बनाती है। क्षेत्र $S_2 \cap S_3$ $-60^\circ$ से $90^\circ$ तक के कोणीय विस्तार को कवर करता है, जो $150^\circ$ या $\frac{5\pi}{6}$ रेडियन है।क्षेत्रफल $= \frac{	heta}{2\pi} 	imes \pi r^2 = \frac{5\pi/6}{2\pi} 	imes \pi(5)^2 = \frac{5}{12} 	imes 25\pi = \frac{125\pi}{12}$.

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