જો ધન પૂર્ણાંક n માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ x(x + 1) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.$r$ પર સરવાળો કરત

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.$r$ પર સરવાળો કરતા: $nx^2 + x \sum_{r=1}^{n} (2r - 1) + \sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = 10n$.સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ અને $\sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$.તેથી,$nx^2 + n^2x + \frac{n(n^2 - 1)}{3} = 10n$.$n$ વડે ભાગતા $(n 
eq 0)$: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 1}{3} = 10$.$x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે. બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.બીજનો ગુણાકાર: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\left(\frac{-(n+1)}{2}ight) \left(\frac{-(n+1)}{2} + 1ight) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\left(\frac{-(n+1)}{2}ight) \left(\frac{1-n}{2}ight) = \frac{n^2 - 31}{3} \Rightarrow \frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124 \Rightarrow n^2 = 121 \Rightarrow n = 11$.

જો ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + \dots + (x + n - 1)(x + n) = 10n$ ના બે ક્રમિક પૂર્ણાંક ઉકેલો હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

જો $x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ અને $y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ હોય,તો $\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

આપેલા બે સમીકરણો ઉકેલો અને યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
$I.$ $2x^2 + 3x + 1 = 0$
$II.$ $12y^2 + 7y + 1 = 0$

દ્વિઘાત સમીકરણ જેનું એક બીજ $2 - \sqrt{3}$ હોય તે કયું હશે?

ધારો કે $p(x)$ એક દ્વિઘાત બહુપદી છે જેથી $p(0) = 1$ થાય. જો $p(x)$ ને $x - 1$ વડે ભાગતા શેષ $4$ વધે અને $x + 1$ વડે ભાગતા શેષ $6$ વધે,તો:

આપેલા બે સમીકરણો ઉકેલો અને આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો.
$I.$ $x^{2} = 64$
$II.$ $2y^{2} + 25y + 72 = 0$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module