यदि फलन f(x) = begin{cases} x, & text{यदि } x | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x)$ के बिंदु $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।बिंदु $x = a$ पर

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$1$

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(B) फलन $f(x)$ के बिंदु $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।बिंदु $x = a$ पर विचार करें। $a$ के किसी भी पड़ोस में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं।यदि $x$ परिमेय है,तो $f(x) = x$,और यदि $x$ अपरिमेय है,तो $f(x) = 1 - x$।$x = a$ पर सीमा के अस्तित्व के लिए,हमारे पास $a = 1 - a$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2a = 1$,या $a = 1/2$।अब,$a = 1/2$ पर सांतत्य की जाँच करें:$f(1/2) = 1/2$ (क्योंकि $1/2$ परिमेय है)।हालाँकि,$1/2$ के किसी भी पड़ोस में ऐसी अपरिमेय संख्याएँ $x$ हैं जिनके लिए $f(x) = 1 - x$,जो $1 - 1/2 = 1/2$ की ओर अग्रसर है।यहाँ,$\lim_{x 	o 1/2} f(x)$ का अस्तित्व है क्योंकि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के लिए $f(x)$ के मान समान मान की ओर अग्रसर होते हैं।परिमेय $x$ के लिए,$f(x) = x 	o 1/2$।अपरिमेय $x$ के लिए,$f(x) = 1 - x 	o 1 - 1/2 = 1/2$।चूँकि दोनों सीमाएँ समान हैं,फलन $x = 1/2$ पर सतत है।अतः,सांतत्य के बिंदुओं की संख्या $1$ है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \\ 1 - x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \end{cases}$ है,तो $f(x)$ कितने बिंदुओं पर सतत है?

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