यदि एक समलंब चतुर्भुज की आधार के अलावा अन्य त | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जहाँ $AD = DC = CB = 10 \ cm$ है। आधार $AB$ पर लंब $DP$ और $CQ$ खींचिए। मान लीजिए $AP = x \ cm$ है। चूँकि समलंब

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$75\sqrt{3} \ cm^2$

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(A) मान लीजिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जहाँ $AD = DC = CB = 10 \ cm$ है। आधार $AB$ पर लंब $DP$ और $CQ$ खींचिए। मान लीजिए $AP = x \ cm$ है। चूँकि समलंब चतुर्भुज समद्विबाहु है,$QB = x \ cm$ होगा। लंबाई $PQ = DC = 10 \ cm$ है। अतः,आधार $AB = x + 10 + x = 2x + 10 \ cm$ है।$\Delta APD$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,ऊँचाई $h = DP = \sqrt{10^2 - x^2} = \sqrt{100 - x^2}$ है।समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes (	ext{समांतर भुजाओं का योग}) 	imes 	ext{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।$A(x) = \frac{1}{2} (AB + DC) 	imes h = \frac{1}{2} (2x + 10 + 10) \sqrt{100 - x^2} = (x + 10) \sqrt{100 - x^2}$ है।अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $A'(x)$ निकालते हैं:$A'(x) = (1) \sqrt{100 - x^2} + (x + 10) \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{100 - x^2 - x^2 - 10x}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{100 - 10x - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$ है।$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x^2 + 10x - 100 = 0 \implies x^2 + 5x - 50 = 0 \implies (x + 10)(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।चूँकि $x$ एक लंबाई है,इसलिए $x = 5 \ cm$ होगा।द्वितीय अवकलज परीक्षण यह पुष्टि करता है कि यह अधिकतम मान है।क्षेत्रफल के सूत्र में $x = 5$ रखने पर:$A(5) = (5 + 10) \sqrt{100 - 5^2} = 15 \sqrt{75} = 15 	imes 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \ cm^2$ प्राप्त होता है।

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