જો રેખા $ax + by = 0$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ ને સ્પર્શતી હોય અને વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ નો અભિલંબ હોય,તો $(a, b)$ ની કિંમત શું થશે?

જો $\theta$ એ વર્તુળ $S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા $P(x_1, y_1)$ આગળ આંતરેલો ખૂણો હોય,તો

ધારો કે $S$ એ $xy$-સમતલમાં $x^2+y^2=4$ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વર્તુળ છે.
$(1)$ ધારો કે $E_1, E_2$ અને $F_1, F_2$ એ $S$ ની જીવાઓ છે જે $P_0(1,1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે. ધારો કે $G_1, G_2$ એ $S$ ની જીવા છે જે $P_0$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-1$ છે. ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ આગળના સ્પર્શકો $E_3$ માં મળે છે,$F_1$ અને $F_2$ આગળના સ્પર્શકો $F_3$ માં મળે છે,અને $G_1$ અને $G_2$ આગળના સ્પર્શકો $G_3$ માં મળે છે. તો,બિંદુઓ $E_3, F_3$ અને $G_3$ કયા વક્ર પર આવેલા છે?
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $xy=4$
$(2)$ ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $S$ પરનું બિંદુ છે જેના બંને યામ ધન છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક યામ અક્ષોને $M$ અને $N$ બિંદુઓમાં છેદે છે. તો,રેખાખંડ $MN$ નું મધ્યબિંદુ કયા વક્ર પર હોવું જોઈએ?
$(A)$ $(x+y)^2=3xy$ $(B)$ $x^{2/3}+y^{2/3}=2^{4/3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2xy$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2y^2$

$y^2 = 16x$ ની નાભિ જીવા $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ ને સ્પર્શે છે,તો આ જીવાના ઢાળના શક્ય મૂલ્યો કયા છે?

પરવલય $y^2=32x$ ની નાભિસ્થ જીવાઓના ઢાળ,જે વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શક છે,તે શોધો.

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા એકમ વર્તુળ પર સ્પર્શકોની એક જોડી દોરવામાં આવે છે અને આ સ્પર્શકો $A$ બિંદુએ છેદે છે જે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. આ સ્પર્શકો અને વર્તુળના ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?