यदि समीकरण ax^3+bx+c=0 का एक मूल दूसरे मूल का | vedclass

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Question

(B) माना समीकरण $ax^3+bx+c=0$ के मूल $2\alpha, \alpha, \beta$ हैं। मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $2\alpha + \alpha + \beta = 0$ है (क

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$36b^3+343ac^2=0$

Vedclass · Answer

(B) माना समीकरण $ax^3+bx+c=0$ के मूल $2\alpha, \alpha, \beta$ हैं। मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $2\alpha + \alpha + \beta = 0$ है (क्योंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है),इसलिए $\beta = -3\alpha$। दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $(2\alpha)(\alpha) + (\alpha)(\beta) + (2\alpha)(\beta) = \frac{b}{a}$ है। $\beta = -3\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $2\alpha^2 + \alpha(-3\alpha) + 2\alpha(-3\alpha) = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha^2 - 6\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow -7\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha^2 = -\frac{b}{7a}$। मूलों का गुणनफल $(2\alpha)(\alpha)(\beta) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2(-3\alpha) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow -6\alpha^3 = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow \alpha^3 = \frac{c}{6a}$। गुणनफल समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha^3)^2 = (\frac{c}{6a})^2 \Rightarrow \alpha^6 = \frac{c^2}{36a^2}$। योग समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर: $(\alpha^2)^3 = (-\frac{b}{7a})^3 \Rightarrow \alpha^6 = -\frac{b^3}{343a^3}$। $\alpha^6$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{c^2}{36a^2} = -\frac{b^3}{343a^3}$ $\Rightarrow 343ac^2 = -36b^3$ $\Rightarrow 36b^3 + 343ac^2 = 0$।

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