यदि एक $G.P.$ के $p^{\text{th}}$,$q^{\text{th}}$ और $r^{\text{th}}$ पद क्रमशः $a$,$b$ और $c$ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1$.

(N/A) मान लीजिए $A$ प्रथम पद है और $R$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$A R^{p-1} = a$
$A R^{q-1} = b$
$A R^{r-1} = c$
अब,व्यंजक $a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}$ पर विचार करें:
$= (A R^{p-1})^{q-r} \cdot (A R^{q-1})^{r-p} \cdot (A R^{r-1})^{p-q}$
$= A^{q-r+r-p+p-q} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$A$ का घातांक ज्ञात करने पर:
$q-r+r-p+p-q = 0$
$R$ का घातांक ज्ञात करने पर:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$= A^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध होता है।