જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ હોય અને $\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો પ્રક્ષેપ $-2$ હોય,તો $|\vec{a}|$ શોધો.

સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બાજુ $\vec{AD}$ ને સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં એક લઘુકોણ $\alpha$ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેથી $\vec{AD}$ એ $\vec{AD'}$ બની જાય. જો $\vec{AD'}$, બાજુ $\vec{AB}$ સાથે કાટખૂણો બનાવે, તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન (cosine) છે

ધારો કે બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{c}=\frac{17}{5} \hat{i}+\frac{16}{5} \hat{j}+7 \hat{k}$ અને $\vec{d}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ એવા સદિશો હોય કે જેથી $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{\alpha}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{\beta}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ છે. ધારો કે $\vec{\beta}_1$ એ $\vec{\alpha}$ ને સમાંતર છે અને $\vec{\beta}_2$ એ $\vec{\alpha}$ ને લંબ છે. જો $\vec{\beta}=\vec{\beta}_1+\vec{\beta}_2$ હોય,તો $5 \vec{\beta}_2 \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\lambda$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશો $2\lambda \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $2\hat{j} + \hat{k}$ પરસ્પર લંબ થાય?