यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है और $\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का प्रक्षेप $-2$ है,तो $|\vec{a}|$ ज्ञात कीजिए।

माना $\vec{a} = \lambda \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$, और $\vec{c} = \hat{i} + \mu \hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\vec{a}$, $\vec{b}$ के समांतर है और $\vec{b}$, $\vec{c}$ पर लंब है, तो $\lambda - \mu$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{\alpha} = 3\hat{i} - \hat{k}$, $|\vec{\beta}| = \sqrt{5}$, और $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3$ है, तो उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ हैं।

मान लीजिए कि दो गैर-संरेख इकाई सदिश $\hat{a}$ और $\hat{b}$ एक न्यून कोण बनाते हैं। एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि किसी भी समय $t$ पर स्थिति सदिश $\overline{OP}$ (जहाँ $O$ मूल बिंदु है) $\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ द्वारा दिया जाता है। जब $P$ मूल बिंदु $O$ से सबसे दूर होता है,तो $M$ को $\overline{OP}$ की लंबाई और $\hat{u}$ को $\overline{OP}$ की दिशा में इकाई सदिश मानें। तब,

मान लीजिए $\hat{u}$ और $\hat{v}$ न्यून कोण पर झुके हुए इकाई सदिश (unit vectors) हैं, इस प्रकार कि $|\hat{u} \times \hat{v}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है। यदि $\vec{A} = \lambda \hat{u} + \hat{v} + (\hat{u} \times \hat{v})$ है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 3\bar{k}$, $\bar{b} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + \bar{k}$, और $\bar{c} = 3\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k}$ तीन सदिश हैं। यदि $\bar{r}$ एक ऐसा सदिश है कि $\bar{r} \cdot \bar{a} = 0$, $\bar{r} \cdot \bar{b} = -2$, और $\bar{r} \cdot \bar{c} = 6$ है, तो $\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।