यदि x^2-3xy+lambda y^2+3x-5y+2=0 द्वारा दी गई | vedclass

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Question

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ है। इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$2h=-3

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$2$

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(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ है। इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,और $b=\lambda$ प्राप्त होता है। रेखाओं के बीच का कोण $	heta$,$	an 	heta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}ight|$ द्वारा दिया जाता है। दिया है $	an 	heta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \left|\frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(\lambda)}}{1+\lambda}ight|$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^2}$। $(1+\lambda)^2 = 36(\frac{9}{4}-\lambda) = 81 - 36\lambda$। $\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 81 - 36\lambda$। $\lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$। $(\lambda+40)(\lambda-2) = 0$। चूंकि $\lambda \geq 0$,इसलिए $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

यदि $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ द्वारा दी गई रेखाओं के बीच का कोण $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है,जहाँ $\lambda \geq 0$,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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