यदि समतलों ax - y + 3z = 2a और 3x + ay + z = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ हैं।दिया गया है कि समतलो

Vedclass · Accepted Answer

$(2, -1, 2)$

Vedclass · Answer

(A) समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ हैं।दिया गया है कि समतलों के बीच का कोण $	heta = \frac{\pi}{3}$ है, इसलिए $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{|3a - a + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + a^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$।$\frac{|2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 10} \sqrt{a^2 + 10}} = \frac{1}{2} \implies \frac{|2a + 3|}{a^2 + 10} = \frac{1}{2}$।$2|2a + 3| = a^2 + 10$।स्थिति $1$: $4a + 6 = a^2 + 10 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$।स्थिति $2$: $-4a - 6 = a^2 + 10 \implies a^2 + 4a + 16 = 0$, जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।अतः, $a = 2$।समतल का समीकरण $(2+2)x + (2-4)y + 2(2)z = 2$ अर्थात $4x - 2y + 4z = 2$ या $2x - y + 2z = 1$ हो जाता है।इस समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -1, 2)$ हैं।

यदि समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है, तो समतल $(a+2)x + (a-4)y + 2az = a$ के लंबवत रेखा के दिक अनुपात क्या हैं?

Similar Questions

समतलों $4x + 3y = 5$ और $x + 2y + 2z = 4$ के अभिलंबों के बीच के कोण का समद्विभाजक किस सदिश की दिशा में है?

समतल $2x + y - z = 5$ द्वारा काटे गए अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

एक समतल $\pi$, $Z$-अक्ष और $X$-अक्ष पर क्रमशः $3$ और $4$ के अंतःखंड बनाता है। यदि $\pi$, $Y$-अक्ष के समांतर है, तो इसका समीकरण क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module