यदि वक्र 2y^2 = 3x,रेखाओं x+y=3,y=0 द्वारा पर | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{2y^2}{3}$,रेखा $x = 3-y$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।सबसे पहले,परवलय और रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें

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$42$

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(A) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{2y^2}{3}$,रेखा $x = 3-y$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।सबसे पहले,परवलय और रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$2y^2 = 3(3-y) \implies 2y^2 + 3y - 9 = 0$$(2y-3)(y+3) = 0$. चूँकि $y \ge 0$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।परवलय,रेखा और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल:$Area_{total} = \int_0^{3/2} ((3-y) - \frac{2y^2}{3}) dy = [3y - \frac{y^2}{2} - \frac{2y^3}{9}]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - \frac{9}{8} - \frac{2}{9} \cdot \frac{27}{8}) = \frac{9}{2} - \frac{9}{8} - \frac{3}{4} = \frac{36-9-6}{8} = \frac{21}{8}$.वृत्त $(x-3)^2 + y^2 = 2$ का केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ है। रेखा $x+y=3$ बिंदु $(3,0)$ से गुजरती है।क्षेत्र के अंदर वृत्त का भाग एक त्रिज्यखंड है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{8} \pi r^2 = \frac{1}{8} \pi (2) = \frac{\pi}{4}$ है।अतः,$A = \frac{21}{8} - \frac{\pi}{4}$.हमें $4(\pi + 4A) = 4(\pi + 4(\frac{21}{8} - \frac{\pi}{4})) = 4(\pi + \frac{21}{2} - \pi) = 4(\frac{21}{2}) = 42$ प्राप्त होता है।

यदि वक्र $2y^2 = 3x$,रेखाओं $x+y=3$,$y=0$ द्वारा परिबद्ध और वृत्त $(x-3)^2 + y^2 = 2$ के बाहर का क्षेत्रफल $A$ है,तो $4(\pi + 4A)$ का मान $.........$ है।

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