वक्रों y^{2}=8x और y=x द्वारा परिबद्ध क्षेत्र | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $y^{2}=8x$ $(i)$ और $y=x$ (ii) हैं।समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हम $y=x$ को $y^{2}=8x$ में प्रतिस्थापित करते हैं:$x^{2}=8x \Ri

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$\frac{32}{3}$

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(B) दिए गए वक्र $y^{2}=8x$ $(i)$ और $y=x$ (ii) हैं।समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हम $y=x$ को $y^{2}=8x$ में प्रतिस्थापित करते हैं:$x^{2}=8x \Rightarrow x^{2}-8x=0 \Rightarrow x(x-8)=0$.अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=8$ हैं।$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=8$ के लिए $y=8$ प्राप्त होता है।आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=8$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है:$	ext{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) dx$$= \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} ight]_{0}^{8}$$= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} ight]_{0}^{8}$$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^{2}}{2} ight) - (0 - 0)$$= \frac{4\sqrt{2}}{3} (16\sqrt{2}) - \frac{64}{2}$$= \frac{4 	imes 16 	imes 2}{3} - 32$$= \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3}$.अतः,क्षेत्रफल $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई है।

वक्रों $y^{2}=8x$ और $y=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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$x = 0$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ के बीच वक्रों $y = \cos x$ और $y = \sin x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है:

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