वक्रों |x|=2, |y|=2 और xy leq frac{1}{2} द्वा | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र $x = \pm 2$ और $y = \pm 2$ द्वारा परिभाषित वर्ग से घिरा है, जिसका कुल क्षेत्रफल $4 	imes 4 = 16$ है। शर्त $xy \leq \frac{1}{2}$ उस क्ष

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$9+3 \log 2$

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(A) यह क्षेत्र $x = \pm 2$ और $y = \pm 2$ द्वारा परिभाषित वर्ग से घिरा है, जिसका कुल क्षेत्रफल $4 	imes 4 = 16$ है। शर्त $xy \leq \frac{1}{2}$ उस क्षेत्र को बाहर करती है जहाँ $xy > \frac{1}{2}$ है।यह क्षेत्र $xy > \frac{1}{2}$ दो भागों से बना है: एक प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $y > \frac{1}{2x}$ और दूसरा तृतीय चतुर्थांश में जहाँ $y समरूपता के कारण, इन दोनों भागों का क्षेत्रफल समान है। आइए प्रथम चतुर्थांश में $x=2, y=2, x=1/4$ (क्योंकि $2x=1/2 \implies x=1/4$ जब $y=2$) और वक्र $y=1/(2x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल की गणना करें।प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $xy > 1/2$ है, क्षेत्रफल $\int_{1/4}^{2} (2 - \frac{1}{2x}) dx = [2x - \frac{1}{2} \log x]_{1/4}^{2} = (4 - \frac{1}{2} \log 2) - (1/2 - \frac{1}{2} \log(1/4)) = 4 - 0.5 \log 2 - 0.5 + 0.5 \log(2^{-2}) = 3.5 - 0.5 \log 2 - \log 2 = 3.5 - 1.5 \log 2$ है।बाहर किए जाने वाला कुल क्षेत्रफल = $2 	imes (3.5 - 1.5 \log 2) = 7 - 3 \log 2$ है।वांछित क्षेत्रफल = वर्ग का कुल क्षेत्रफल - बाहर किया गया क्षेत्रफल = $16 - (7 - 3 \log 2) = 9 + 3 \log 2$ है।

वक्रों $|x|=2, |y|=2$ और $xy \leq \frac{1}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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