यदि वृत्त $x^2+y^2=a^2$,अतिपरवलय $xy=c^2$ को चार बिंदुओं $(x_i, y_i)$ पर प्रतिच्छेद करता है,जहाँ $i=1, 2, 3, 4$,तो $y_1+y_2+y_3+y_4$ का मान क्या होगा?

दो रेखाओं $x \sqrt{3}-y=k \sqrt{3}$ और $\sqrt{3} k x+k y=\sqrt{3}$,जहाँ $k \in R$,के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या दर्शाता है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के बिंदु $(8, 3\sqrt{3})$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $P(\frac{\pi}{4}), Q(\frac{5 \pi}{4}), R(\frac{3 \pi}{4}), T(\frac{7 \pi}{4})$ अतिपरवलय $x^2-4y^2-4=0$ पर प्राचलिक रूप में बिंदु हैं। तो चतुर्भुज $PQRT$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)

$PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) है, इस प्रकार कि $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। तब अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ किस शर्त को संतुष्ट करती है?

उस अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{5}{3}$ है और नाभियों के बीच की दूरी $10$ इकाई है: