જો $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $a^{r-1}$,$a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો સાબિત કરો કે $n^{2}-n(4r+1)+4r^{2}-2=0$.

(N/A) $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)$-મું પદ $\binom{n}{r}a^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$a^{r-1}$,$a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો અનુક્રમે $\binom{n}{r-1}$,$\binom{n}{r}$ અને $\binom{n}{r+1}$ છે.
આ સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r+1} = 2\binom{n}{r}$ થાય.
દ્વિપદી સહગુણકોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = 2 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા અને $(r+1)!(n-r+1)!$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$r^{2}+r + n^{2}-2nr+r^{2}+n = 2(nr-r^{2}+r+n-r+1)$
$n^{2} - 4nr - n + 4r^{2} - 2 = 0$
$n^{2} - n(4r+1) + 4r^{2} - 2 = 0$.