यदि (1+alpha x+beta x^2)(1+x)^{11} के विस्तार | vedclass

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Question

(B) विस्तार $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ है।द्विपद विस्तार $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक इस प्रकार ह

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$13$

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(B) विस्तार $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ है।द्विपद विस्तार $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक इस प्रकार है:$(1+\alpha x+\beta x^2) \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k = \sum \binom{11}{k} x^k + \alpha \sum \binom{11}{k} x^{k+1} + \beta \sum \binom{11}{k} x^{k+2}$.$x^{10}$ के लिए,गुणांक $\binom{11}{10} + \alpha \binom{11}{9} + \beta \binom{11}{8} = 11 + 55\alpha + 165\beta = 396$ है।$11$ से विभाजित करने पर,$1 + 5\alpha + 15\beta = 36$,अतः $5\alpha + 15\beta = 35$,या $\alpha + 3\beta = 7$ (समीकरण $1$)।$x^{11}$ के लिए,गुणांक $\binom{11}{11} + \alpha \binom{11}{10} + \beta \binom{11}{9} = 1 + 11\alpha + 55\beta = 144$ है।अतः,$11\alpha + 55\beta = 143$,या $\alpha + 5\beta = 13$ (समीकरण $2$)।समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(5\beta - 3\beta) = 13 - 7$,अतः $2\beta = 6$,जिसका अर्थ है $\beta = 3$।समीकरण $1$ में $\beta = 3$ रखने पर: $\alpha + 3(3) = 7$,अतः $\alpha = 7 - 9 = -2$।इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$।

यदि $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ के विस्तार में $x^{10}$ और $x^{11}$ के गुणांक क्रमशः $396$ और $144$ हैं,तो $\alpha^2+\beta^2=$

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