यदि $\left(3 x^{3}-2 x^{2}+\frac{5}{x^{5}}\right)^{10}$ के विस्तार में अचर पद $2^{k} \cdot l$ है,जहाँ $l$ एक विषम पूर्णांक है,तो $k$ का मान क्या होगा?

एक संयुक्त संख्या $a$ का $1$ से बड़ा सबसे छोटा धनात्मक भाजक है

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$: संख्या $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ के गैर-तुच्छ सम भाजकों की संख्या $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ है।
$II$: संख्या $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ के गैर-तुच्छ विषम भाजकों की संख्या $\alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ है। तो:

$ababab$ रूप की (आधार $10$ में) $6$-अंकीय संख्याओं की संख्या,जिनमें से प्रत्येक ठीक $6$ भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है,है

$n$ का सबसे बड़ा मान, जिसके लिए $40^n$, $60!$ को विभाजित करता है, है

मान लीजिए $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो संख्या $(10)^{10} \cdot (11)^{11} \cdot (13)^{13}$ के $4n+1$ के रूप वाले भाजकों की संख्या $....$ है।