જો વક્રો y^2 = 12x - 3 અને y^2 = 12 - kx એકબી | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = 12x - 3$ અને $y^2 = 12 - kx$ છે. ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $y^2 = 12x - 3$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $2y \frac{d

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = 12x - 3$ અને $y^2 = 12 - kx$ છે. ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $y^2 = 12x - 3$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $2y \frac{dy}{dx} = 12 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$. ધારો કે $m_1 = \frac{6}{y_1}$. $y^2 = 12 - kx$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $2y \frac{dy}{dx} = -k \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{k}{2y}$. ધારો કે $m_2 = -\frac{k}{2y_1}$. વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી, $m_1 m_2 = -1 \implies (\frac{6}{y_1})(-\frac{k}{2y_1}) = -1 \implies \frac{3k}{y_1^2} = 1 \implies y_1^2 = 3k$. છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ, $12x_1 - 3 = 12 - kx_1 \implies x_1(12 + k) = 15 \implies x_1 = \frac{15}{12+k}$. વળી $y_1^2 = 12 - kx_1 = 3k \implies 12 - k(\frac{15}{12+k}) = 3k \implies 12(12+k) - 15k = 3k(12+k) \implies 144 + 12k - 15k = 36k + 3k^2 \implies 3k^2 + 39k - 144 = 0 \implies k^2 + 13k - 48 = 0 \implies (k+16)(k-3) = 0$. $k > 0$ હોવાથી, $k = 3$. વક્ર $y^2 = 12 - 3x$ છે. $x = 1$ આગળ, $y^2 = 12 - 3(1) = 9 \implies y = 3$ ($b=3$ લેતા). $(1, 3)$ આગળ ઢાળ $m = -\frac{3}{2(3)} = -\frac{1}{2}$ છે. ઉપ-સ્પર્શકની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{3}{-1/2}| = 6$ થાય.

જો વક્રો $y^2 = 12x - 3$ અને $y^2 = 12 - kx$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે, તો વક્ર $y^2 = 12 - kx$ પરના બિંદુ $(1, b)$ આગળ ઉપ-સ્પર્શકની લંબાઈ કેટલી થાય?

Similar Questions

વક્ર $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 5}$ નો $X$-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શક કયો છે?

વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

વક્ર $9y^{2} = x^{3}$ પરના બિંદુઓ,જ્યાં વક્રનો અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તે છે

વક્રો $r = \sin \theta + \cos \theta$ અને $r = 2 \sin \theta$ ના છેદનકોણનું માપ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module