यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात 3lm - 4ln + mn = | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण हैं:$3lm - 4ln + mn = 0$  --- $(1)$$l + 2m + 3n = 0$  --- $(2)$समीकरण $(2)$ से,$l = -2m - 3n$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$3

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$\pi /2$

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(A) दिए गए समीकरण हैं:$3lm - 4ln + mn = 0$  --- $(1)$$l + 2m + 3n = 0$  --- $(2)$समीकरण $(2)$ से,$l = -2m - 3n$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$$-6m^2 + 12n^2 = 0$$m^2 = 2n^2 \implies m = \pm \sqrt{2}n$स्थिति $1$: यदि $m = \sqrt{2}n$,तो $l = -2(\sqrt{2}n) - 3n = -(2\sqrt{2} + 3)n$. दिक्-अनुपात $(-(2\sqrt{2} + 3), \sqrt{2}, 1)$ हैं।स्थिति $2$: यदि $m = -\sqrt{2}n$,तो $l = -2(-\sqrt{2}n) - 3n = (2\sqrt{2} - 3)n$. दिक्-अनुपात $((2\sqrt{2} - 3), -\sqrt{2}, 1)$ हैं।माना दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (-(2\sqrt{2} + 3))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.चूंकि दिक्-सदिशों का डॉट गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\pi /2$ है।

यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $3lm - 4ln + mn = 0$ और $l + 2m + 3n = 0$ द्वारा दिए गए हैं,तो रेखाओं के बीच का कोण है

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रेखाओं $\bar{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k})$ और $\bar{r}=(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j})$ और $\vec{r} = (4\hat{i} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x + 4}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$ और $\frac{x}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{1}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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