यदि समीकरण x^{2}-cx+d=0 के मूल x^{2}+ax+b=0 क | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}+ax+b=0$ के मूल हैं और $x^{2}-cx+d=0$ के मूल $\alpha^{4}$ और $\beta^{4}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच

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एक धनात्मक और एक ऋणात्मक

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}+ax+b=0$ के मूल हैं और $x^{2}-cx+d=0$ के मूल $\alpha^{4}$ और $\beta^{4}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$\alpha+\beta=-a, \alpha\beta=b$ ...$(i)$
$\alpha^{4}+\beta^{4}=c, \alpha^{4}\beta^{4}=d$ ...$(ii)$
$(ii)$ से, $c = \alpha^{4}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}-2(\alpha\beta)^{2} = ((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)^{2}-2(\alpha\beta)^{2}$.
$(i)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $c = (a^{2}-2b)^{2}-2b^{2} = a^{4}+4b^{2}-4a^{2}b-2b^{2} = a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$.
अतः, $2b^{2}-c = 2b^{2}-(a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}) = 4a^{2}b-a^{4} = a^{2}(4b-a^{2})$.
दिया गया है $a^{2}>4b$, इसलिए $4b-a^{2} < 0$, जिसका अर्थ है $2b^{2}-c < 0$.
समीकरण $x^{2}-4bx+(2b^{2}-c)=0$ के लिए, मूलों का गुणनफल $2b^{2}-c < 0$ है।
चूंकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है, इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।

यदि समीकरण $x^{2}-cx+d=0$ के मूल $x^{2}+ax+b=0$ के मूलों की चौथी घात के बराबर हैं, जहाँ $a^{2}>4b,$ तो $x^{2}-4bx+2b^{2}-c=0$ के मूल होंगे

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