જો સમીકરણ x^{2}-cx+d=0 ના બીજ એ x^{2}+ax+b=0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $x^{2}-cx+d=0$ ના બીજ $\alpha^{4}$ અને $\beta^{4}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ

Vedclass · Accepted Answer

એક ધન અને એક ઋણ

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $x^{2}-cx+d=0$ ના બીજ $\alpha^{4}$ અને $\beta^{4}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta=-a, \alpha\beta=b$ ...$(i)$
$\alpha^{4}+\beta^{4}=c, \alpha^{4}\beta^{4}=d$ ...$(ii)$
$(ii)$ પરથી, $c = \alpha^{4}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}-2(\alpha\beta)^{2} = ((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)^{2}-2(\alpha\beta)^{2}$.
$(i)$ મુકતા: $c = (a^{2}-2b)^{2}-2b^{2} = a^{4}+4b^{2}-4a^{2}b-2b^{2} = a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$.
આમ, $2b^{2}-c = 2b^{2}-(a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}) = 4a^{2}b-a^{4} = a^{2}(4b-a^{2})$.
આપેલ છે કે $a^{2}>4b$, તેથી $4b-a^{2} < 0$, એટલે કે $2b^{2}-c < 0$.
સમીકરણ $x^{2}-4bx+(2b^{2}-c)=0$ માટે, બીજનો ગુણાકાર $2b^{2}-c < 0$ છે.
બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવાથી, એક બીજ ધન અને બીજું બીજ ઋણ હશે.

જો સમીકરણ $x^{2}-cx+d=0$ ના બીજ એ $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજના ચતુર્થ ઘાત જેટલા હોય, જ્યાં $a^{2}>4b,$ તો $x^{2}-4bx+2b^{2}-c=0$ ના બીજ કેવા હશે?

Similar Questions

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય,તો જે સમીકરણના બીજ $\alpha+\beta$ અને $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ હોય તે સમીકરણ શોધો.

જો $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ ના બીજો વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $4$ હોય,તો $b$ ની કિંમત શોધો.

જો $x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2-kx+c=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય,તો બિંદુઓ $A(x_1, 0)$ અને $B(x_2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $2x^2 - 35x + 2 = 0$ ના બીજ હોય,તો $(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module