यदि समीकरण ax^2 + 4xy - 2y^2 + 4x + 8y + 1 = | vedclass

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Question

(B) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है। इसके सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $ABC + 2FGH

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$(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

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(B) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है। इसके सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ है। गुणांकों की तुलना करने पर: $A=a, H=2, B=-2, G=2, F=4, C=1$। इन्हें प्रतिस्थापित करने पर: $a(-2)(1) + 2(4)(2)(2) - a(4)^2 - (-2)(2)^2 - 1(2)^2 = 0 \implies -2a + 32 - 16a + 8 - 4 = 0 \implies -18a + 36 = 0 \implies a = 2$। समीकरण $2x^2 + 4xy - 2y^2 + 4x + 8y + 1 = 0$ बन जाता है। माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ है। $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज हैं: $f_x = 4x + 4y + 4 = 0 \implies x + y = -1$ और $f_y = 4x - 4y + 8 = 0 \implies x - y = -2$। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$। घटाने पर: $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ है।

यदि समीकरण $ax^2 + 4xy - 2y^2 + 4x + 8y + 1 = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है, तो उनके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं...

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