यदि वृत्तों x^2+y^2+x-3y-10=0 और x^2+y^2+2x-y | vedclass

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Question

(A) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ हैं। उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है,जो $(x^2+y^2+x-3y-10)

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(A) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ हैं। उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है,जो $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^2+y^2+2x-y-20) = 0$ है। यह $-x-2y+10=0$ या $x+2y-10=0$ में सरल हो जाता है। $S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है। $(x^2+y^2+x-3y-10) + \lambda(x+2y-10) = 0$. $x^2+y^2+(1+\lambda)x+(-3+2\lambda)y+(-10-10\lambda) = 0$. इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{1+\lambda}{2}, \frac{3-2\lambda}{2})$ है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $x+2y-10=0$ व्यास है,इसलिए केंद्र को उस पर स्थित होना चाहिए: $-\frac{1+\lambda}{2} + 2(\frac{3-2\lambda}{2}) - 10 = 0$. $-1-\lambda + 6-4\lambda - 20 = 0 \implies -5\lambda - 15 = 0 \implies \lambda = -3$. $\lambda = -3$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+(1-3)x+(-3-6)y+(-10+30) = 0$. $x^2+y^2-2x-9y+20=0$. $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha=-2, \beta=-9, \gamma=20$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha+2\beta+\gamma = -2 + 2(-9) + 20 = -2 - 18 + 20 = 0$.

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