यदि परवलय का समीकरण,जिसका शीर्ष (5,4) पर है औ | vedclass

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Question

(D) शीर्ष $A$ $(5,4)$ है और नियता $3x+y-29=0$ है।माना $B$ शीर्ष से नियता पर डाले गए लंब का पाद है। $A$ से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा का समीकरण

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$-576$

Vedclass · Answer

(D) शीर्ष $A$ $(5,4)$ है और नियता $3x+y-29=0$ है।माना $B$ शीर्ष से नियता पर डाले गए लंब का पाद है। $A$ से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-4}{1} = k$ है।चूंकि $B$ नियता $3x+y-29=0$ पर स्थित है,इसलिए $3(5+3k) + (4+k) - 29 = 0$,जिससे $15+9k+4+k-29=0$ प्राप्त होता है,अतः $10k-10=0$,जिसका अर्थ है $k=1$।इस प्रकार,$B$ के निर्देशांक $(5+3(1), 4+1) = (8,5)$ हैं।चूंकि शीर्ष $A$,$SB$ रेखाखंड का मध्यबिंदु है,जहाँ $S$ नाभि $(x_s, y_s)$ है,तो $\frac{x_s+8}{2} = 5$ और $\frac{y_s+5}{2} = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $S = (2,3)$ मिलता है।परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x,y)$ के लिए $PS = PM$,जहाँ $PM$ नियता से लंबवत दूरी है।$PS^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2-4x+4+y^2-6y+9 = x^2+y^2-4x-6y+13$.$PM^2 = \frac{(3x+y-29)^2}{3^2+1^2} = \frac{9x^2+y^2+841+6xy-174x-58y}{10}$.$10(x^2+y^2-4x-6y+13) = 9x^2+y^2+6xy-174x-58y+841$ को हल करने पर,$x^2+9y^2-6xy+134x-2y-711=0$ प्राप्त होता है।$x^2+ay^2+bxy+cx+dy+k=0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=-6, c=134, d=-2, k=-711$ है।अतः,$a+b+c+d+k = 9-6+134-2-711 = -576$।

यदि परवलय का समीकरण,जिसका शीर्ष $(5,4)$ पर है और नियता $3x+y-29=0$ है,$x^{2}+ay^{2}+bxy+cx+dy+k=0$ है,तो $a+b+c+d+k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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