यदि अतिपरवलय की नाभिलंब जीवा केंद्र पर समकोण | vedclass

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Question

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभि $(ae, 0)$ पर है।चूंकि नाभिलंब जीवा अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत है,इसका समीकरण $x = ae$

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$e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभि $(ae, 0)$ पर है।चूंकि नाभिलंब जीवा अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत है,इसका समीकरण $x = ae$ है।अतिपरवलय के समीकरण में $x = ae$ रखने पर: $\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}$ $\Rightarrow y^2 = b^2(e^2 - 1)$.चूंकि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $e^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$ है,अतः $y^2 = b^2(\frac{b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$.जीवा के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।केंद्र $O(0, 0)$ है। जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $OA$ की ढाल $	imes$ $OB$ की ढाल $= -1$ है।$OA$ की ढाल $= \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$। $OB$ की ढाल $= -\frac{b^2}{a^2e}$।$(\frac{b^2}{a^2e}) 	imes (-\frac{b^2}{a^2e}) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,हमारे पास $(a^2(e^2 - 1))^2 = a^4e^2 \Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ है।$e^4 - 2e^2 + 1 = e^2 \Rightarrow e^4 - 3e^2 + 1 = 0$.$u = e^2$ लेने पर,$u^2 - 3u + 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$।चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$।

यदि अतिपरवलय की नाभिलंब जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है,तो इसकी उत्केंद्रता है

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