यदि फलन $f(x) = \begin{cases} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ K, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $K = ?$

मान लीजिए $f, g: R \to R$ दो फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ और $g(x) = x f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं।
कथन $I$: $f$,$x = 0$ पर एक सतत फलन है।
कथन $II$: $g$,$x = 0$ पर एक अवकलनीय फलन है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \alpha + \frac{\sin [x]}{x}, & \text{यदि } x > 0 \\ 2, & \text{यदि } x = 0 \\ \beta + \left[ \frac{\sin x - x}{x^3} \right], & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $\beta - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर संतत नहीं है।

$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos kx}{x^2}, & x \le 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x - |x|}{x}, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$ के लिए: