यदि फलन f(x) = frac{Ksin x + 2cos x}{sin x + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{K\sin x + 2\cos x}{\sin x + \cos x}$.अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{

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$K > 2$

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{K\sin x + 2\cos x}{\sin x + \cos x}$.अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हैं।माना $u = K\sin x + 2\cos x$ और $v = \sin x + \cos x$.तब $u' = K\cos x - 2\sin x$ और $v' = \cos x - \sin x$.$f'(x) = \frac{(K\cos x - 2\sin x)(\sin x + \cos x) - (K\sin x + 2\cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$.अंश का विस्तार करने पर:$= (K\sin x \cos x + K\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\sin x \cos x) - (K\sin x \cos x - K\sin^2 x + 2\cos^2 x - 2\sin x \cos x)$.$= K\cos^2 x - 2\sin^2 x + K\sin^2 x - 2\cos^2 x$.$= K(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = K - 2$.अतः,$f'(x) = \frac{K - 2}{(\sin x + \cos x)^2}$.चूंकि फलन सभी $x$ के लिए वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > 0$ होगा।चूंकि $(\sin x + \cos x)^2 > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $K - 2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $K > 2$।

यदि फलन $f(x) = \frac{K\sin x + 2\cos x}{\sin x + \cos x}$ सभी $x$ के मानों के लिए वर्धमान है,तो

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