यदि अवकल समीकरण cos^2 x frac{dy}{dx} + y = ta | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = 	an x$. $\cos^2 x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = 	an x

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$e$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = 	an x$. $\cos^2 x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = 	an x \sec^2 x$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = 	an x \sec^2 x$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{	an x}$. व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ है। $y e^{	an x} = \int 	an x \sec^2 x e^{	an x} dx + C$. माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$. $y e^{	an x} = \int u e^u du + C = e^u(u - 1) + C$. $y e^{	an x} = e^{	an x}(	an x - 1) + C$. $e^{	an x}$ से भाग देने पर,हमें $y = 	an x - 1 + Ce^{-	an x}$ प्राप्त होता है। दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $x = \frac{\pi}{4}$ और $y = 1$ रखने पर: $1 = 	an(\frac{\pi}{4}) - 1 + Ce^{-	an(\frac{\pi}{4})}$. $1 = 1 - 1 + Ce^{-1}$. $1 = Ce^{-1} \Rightarrow C = e$.

यदि अवकल समीकरण $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x$ का व्यापक हल $y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$ है और यह $y(\frac{\pi}{4}) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो $C =$

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