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Question

(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है।माना सारणिक $D = \begin{

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$bc + ca + ab = 0$

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(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है।माना सारणिक $D = \begin{vmatrix} -bc & b^2 + bc & c^2 + bc \ a^2 + ac & -ac & c^2 + ac \ a^2 + ab & b^2 + ab & -ab \end{vmatrix} = 0$.पंक्तियों को क्रमशः $a, b, c$ से विभाजित करने पर (या स्तंभों से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर),हम सारणिक को सरल बना सकते हैं।प्रथम स्तंभ से $a$,दूसरे से $b$ और तीसरे से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:$abc \begin{vmatrix} -c & b+c & c+b \ a+c & -c & c+a \ a+b & b+a & -b \end{vmatrix} = 0$.पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं को करने के बाद,सारणिक का सरलीकृत रूप $(ab + bc + ca)^3 = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$ab + bc + ca = 0$.

यदि दिए गए सदिश $(-bc, b^2 + bc, c^2 + bc)$,$(a^2 + ac, -ac, c^2 + ac)$ और $(a^2 + ab, b^2 + ab, -ab)$ समतलीय हैं,जहाँ $a, b$ और $c$ में से कोई भी शून्य नहीं है,तो:

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यदि सदिश $a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ समतलीय हैं $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$,तो $abc-(a+b+c)$ का मान है:

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