a cdot [(b + c) times (a + b + c)] का मान ज्ञ | vedclass

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Question

(D) हमें व्यंजक $a \cdot [(b + c) 	imes (a + b + c)]$ दिया गया है। क्रॉस उत्पाद के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करने

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$0$

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(D) हमें व्यंजक $a \cdot [(b + c) 	imes (a + b + c)]$ दिया गया है। क्रॉस उत्पाद के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करने पर: $(b + c) 	imes (a + b + c) = (b 	imes a) + (b 	imes b) + (b 	imes c) + (c 	imes a) + (c 	imes b) + (c 	imes c)$. चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस उत्पाद शून्य होता है ($b 	imes b = 0$ और $c 	imes c = 0$),इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है: $(b 	imes a) + (b 	imes c) + (c 	imes a) + (c 	imes b)$. अब,$a$ के साथ डॉट उत्पाद लेने पर: $a \cdot [(b 	imes a) + (b 	imes c) + (c 	imes a) + (c 	imes b)] = a \cdot (b 	imes a) + a \cdot (b 	imes c) + a \cdot (c 	imes a) + a \cdot (c 	imes b)$. इसे अदिश त्रिक गुणन के रूप में लिखने पर: $[a \, b \, a] + [a \, b \, c] + [a \, c \, a] + [a \, c \, b]$. अदिश त्रिक गुणन में,यदि कोई भी दो सदिश समान हों,तो उसका मान $0$ होता है। अतः,$[a \, b \, a] = 0$ और $[a \, c \, a] = 0$. साथ ही,$[a \, c \, b] = -[a \, b \, c]$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 + [a \, b \, c] + 0 - [a \, b \, c] = 0$.

$a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का एक रैखिक संयोजन है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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