यदि रेखाओं $x=2$,$4x+3y+7=0$ और $y=3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का अंतःकेंद्र और परिकेंद्र क्रमशः $I$ और $S$ हैं,तो $IS=$

एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्षलंबों (altitudes) के समीकरण $\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3} = 0$ और $\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3} = 0$ हैं। तीसरे शीर्षलंब का समीकरण है

$Y$-अक्ष,$(3,0)$ और $(1, 4/3)$ बिंदुओं से गुजरने वाली सरल रेखा $L$,और रेखा $L$ के लंबवत तथा $(8,1)$ बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

माना $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}$ और $A(\alpha, \beta), B(1, 0), C(\gamma, \delta)$ तथा $D(1, 2)$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं। यदि $AB = \sqrt{10}$ है और बिंदु $A$ तथा $C$ रेखा $3y = 2x + 1$ पर स्थित हैं,तो $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $A(-3, 1)$ और $\angle ACB = \theta$ है,जहाँ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है। यदि $B$ से गुजरने वाली माध्यिका का समीकरण $2x + y - 3 = 0$ है और $C$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $7x - 4y - 1 = 0$ है,तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात कीजिए:

सभी त्रिभुजों $OPQ$ के समुच्चय पर विचार करें जहाँ $O$ मूलबिंदु है और $P, Q$ समतल में गैर-ऋणात्मक पूर्णांक निर्देशांक $(x, y)$ वाले भिन्न बिंदु हैं,इस प्रकार कि $5x + y = 99$ है। ऐसे कितने भिन्न त्रिभुज हैं जिनका क्षेत्रफल एक धनात्मक पूर्णांक है?