જો હાયપરબોલા (અતિવલય) નું લેટસ રેક્ટમ તેના કે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે,હાયપરબોલાનું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.ધારો કે હાયપરબોલાનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે,હાયપરબોલાનું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.ધારો કે હાયપરબોલાનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.લેટસ રેક્ટમના અંત્યબિંદુઓ $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ અને $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.કેન્દ્ર $C = (0, 0)$ છે.$\angle LCL' = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CL$ અને $CL'$ ના ઢાળ $m_1 = \frac{b^2}{a^2e}$ અને $m_2 = -\frac{b^2}{a^2e}$ થાય.$CL \perp CL'$ હોવાથી,$m_1 	imes m_2 = -1$.$\left(\frac{b^2}{a^2e}ight) 	imes \left(-\frac{b^2}{a^2e}ight) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ મૂકતા:$[a^2(e^2 - 1)]^2 = a^4e^2$ $\Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \pm e$.$e > 1$ હોવાથી,$e^2 - e - 1 = 0$ લેતા,$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

જો હાયપરબોલા (અતિવલય) નું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર કાટખૂણો આંતરે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

Similar Questions

$m$ ની કઈ કિંમતો માટે રેખા $y=mx+2$ એ અતિવલય $4x^2-9y^2=36$ ને સ્પર્શક બને છે?

અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ની અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

જો બિંદુ $(1,1)$ અને ઉગમબિંદુ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{1} = 1$ $(a > 0)$ ની સાપેક્ષમાં એક જ પ્રદેશમાં આવેલા હોય,તો $a$ નો વિસ્તાર શોધો.

$x^{2}-y^{2}=4$ ના નાભિનું તેની નજીકની નિયામિકા (directrix) થી અંતર કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module