અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુમાંથી,અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. તે બિંદુના સ્પર્શક જીવા (chord of contact) અને અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) દ્વારા બનતી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ ને સમાંતર અને રેખા $2x-y=1$ ને સમાંતર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. અતિવલય પર સ્પર્શબિંદુઓ કયા છે?
$(A) \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(B) \left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(C) (3\sqrt{3}, -2\sqrt{2})$
$(D) (-3\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$

ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P(4, 2\sqrt{3})$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $32$ છે. ધારો કે $H$ ની અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $p$ છે અને તેની નાભિલંબની લંબાઈ $q$ છે. તો $p^2 + q^2$ ની કિંમત ...... છે.

અતિવલય $5 x^2-y^2=5$ ને $(2,8)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકો પૈકી એકનું સમીકરણ શોધો.

જે બિંદુમાંથી અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ ની બે અલગ અલગ શાખાઓ પર બે ભિન્ન સ્પર્શકો દોરી શકાય,પરંતુ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 36$ પર બે ભિન્ન સ્પર્શકો દોરી ન શકાય તેવું બિંદુ કયું છે?

એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) ના નિયામિકાઓ (directrices) વચ્ચેનું અંતર $10$ એકમ છે,તો તેના નાભિઓ (foci) વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?