એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) ના નિયામિકાઓ (directrices) વચ્ચેનું અંતર $10$ એકમ છે,તો તેના નાભિઓ (foci) વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?

એક અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે અને સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x + y - 4 = 0$ છે. અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એવા હોય કે જેનું કેન્દ્ર $C$ છે અને $CP$ એ $CQ$ ને લંબ છે,જ્યાં $a < b$,તો $\frac{1}{(CP)^2} + \frac{1}{(CQ)^2}$ ની કિંમત શોધો.

$m$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે,સીધી રેખા $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ એ કયા વક્રનો સ્પર્શક છે?

સમીકરણ $\frac{x^2}{29 - p} + \frac{y^2}{4 - p} = 1$ $(p \neq 4, 29)$ શું દર્શાવે છે?

ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P(4, 2\sqrt{3})$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $32$ છે. ધારો કે $H$ ની અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $p$ છે અને તેની નાભિલંબની લંબાઈ $q$ છે. તો $p^2 + q^2$ ની કિંમત ...... છે.