यदि रेखा $y=mx+c$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=36$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

माना एक रेखा $L_{1}$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ की स्पर्श रेखा है और $L_{2}$ मूल बिंदु से गुजरने वाली और $L_{1}$ के लंबवत रेखा है। यदि $L_{1}$ और $L_{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $(x^{2}+y^{2})^{2} = \alpha x^{2}+\beta y^{2}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

यदि अतिपरवलय $x^2-k y^2=3$ के अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है और $e$ इसकी उत्केंद्रता है,तो इस अतिपरवलय के सापेक्ष रेखा $x+y-1=0$ का ध्रुव ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A(\theta_1)$ और $B(\theta_2)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर दो बिंदु हैं और $S$ अतिपरवलय की नाभि है। यदि $A, S, B$ संरेख हैं और $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ है,तो $k=$